Найди сумму целых решений неравенства x^4 - 5x^2|x-2| <=6(x-2)^2
Answer (1)
Рассмотрим функцию [tex]\bf f(x)=x^4-5x^2|x-2|-6(x-2)^2[/tex]. ООФ: [tex]D(f)=\mathbb{R}[/tex]Находим нули функции: [tex]\bf x^4-5x^2|x-2|-6(x-2)^2=0~~ \Big|:(x-2)^2\ne 0[/tex] [tex]\bf \left(\dfrac{x^2}{|x-2|}\right)^2-5\cdot \dfrac{x^2}{|x-2|}-6=0[/tex]Решаем как квадратное уравнение относительно [tex]\bf \dfrac{x^2}{|x-2|}[/tex]. По теореме Виета: [tex]\bf \dfrac{x^2}{|x-2|}=-1[/tex] - уравнение решений не имеет, т.к. левая часть всегда положительно. [tex]\bf \dfrac{x^2}{|x-2|}=6~ \implies ~~ x^2=6|x-2|~\implies~ (x^2)^2=(6|x-2|)^2[/tex] [tex]\bf x^4-36(x-2)^2=0~\implies~~ \Big(x^2-6(x-2)\Big)\Big(x^2+6(x-2)\Big)=0[/tex] [tex]\bf \Big(x^2-6x+12\Big)\Big(x^2+6x-12\Big)=0[/tex]Уравнение [tex]\bf x^2-6x+12=0[/tex] действительных корней не имеет, поскольку его дискриминант [tex]\bf D=36-4\cdot 12 < 0[/tex]. [tex]\bf x^2+6x-12=0~\implies~ (x+3)^2-21=0~\implies~ |x+3|=\sqrt{21}[/tex] [tex]\bf x+3=\pm\sqrt{21}~~ \implies~~ \boxed{\bf x_{1,2}=-3\pm\sqrt{21}}[/tex]Находим решение неравенства:__+____(3-√21)_______-________(3+√21)____+_____Отсюда [tex]\bf x \in \Big(-3-\sqrt{21};-3+\sqrt{21}\Big)[/tex]. Целые решения: -7; -6; -5; ... ; 1.Сумма целых решений: [tex]\bf -7-6-5-4-3-2-1+0+1=-27[/tex]
