Задача 8. Для случайной величины X с таблицей распределения
| X = x | 0 | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| P(x) | 0.5 + θ | 0.1 - θ | 0.2 | 0.2 |
получена выборка {1, 4, 2, 2, 0, 1}. Вычислите оценку максимального правдоподобия.
Answer (1)
Все вероятности должны быть неотрицательны: [tex]\[\bf \begin{cases}0.5 + \theta \geq 0 \\0.1 - \theta \geq 0 \\0.2 \geq 0 \\0.2 \geq 0 \\\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\theta \geq -0.5 \\\theta \leq 0.1 \\\end{cases}\Rightarrow \theta \in [-0.5; 0.1]\][/tex]Составим функцию правдоподобия.Функция правдоподобия — это вероятность наблюдения данной выборки {1, 4, 2, 2, 0, 1} как функция от параметра [tex]\theta[/tex]. Поскольку наблюдения независимы, функция правдоподобия равна произведению вероятностей каждого значения из выборки: [tex]\bf L(\theta) = P(X=1) \cdot P(X=4) \cdot P(X=2) \cdot P(X=2) \cdot P(X=0) \cdot P(X=1)[/tex]Сгруппируем вероятности по значениям случайной величины:[tex]\bf P(X=0) = 0.5 + \theta[/tex] (встречается 1 раз)[tex]\bf P(X=1) = 0.1 - \theta[/tex] (встречается 2 раза)[tex]\bf P(X=2) = 0.2[/tex] (встречается 2 раза)[tex]\bf P(X=4) = 0.2[/tex] (встречается 1 раз)Тогда функция правдоподобия имеет вид: [tex]\bf L(\theta) = (0.5 + \theta)^1 \cdot (0.1 - \theta)^2 \cdot (0.2)^2 \cdot (0.2)^1 = (0.5 + \theta)(0.1 - \theta)^2 (0.2)^3[/tex]Логарифмическая функция правдоподобия [tex]\[\bf \ln L(\theta) = \ln(0.5 + \theta) + 2\ln(0.1 - \theta) + \ln(0.008)\][/tex]Продифференцируем: [tex]\[\displaystyle \bf\frac{dl}{d\theta} = \frac{1}{0.5 + \theta} + 2 \cdot \frac{-1}{0.1 - \theta} = \frac{1}{0.5 + \theta} - \frac{2}{0.1 - \theta}\][/tex]Приравниваем производную к нулю: [tex]\displaystyle \bf \frac{1}{0.5 + \theta} - \frac{2}{0.1 - \theta} = 0~\implies~ 1 \cdot (0.1 - \theta) = 2 \cdot (0.5 + \theta)[/tex] [tex]\bf 0.1 - \theta = 1 + 2\theta~~\implies~~ \theta =-0.3 \in [-0.5;0.1][/tex]Вторая производная: [tex]\displaystyle \bf \frac{d^2l}{d\theta^2} = -\frac{1}{(0.5 + \theta)^2} - \frac{2}{(0.1 - \theta)^2}[/tex]При [tex]\bf \theta = -0.3[/tex]: [tex]\displaystyle \bf \[\frac{d^2l}{d\theta^2} = -\frac{1}{0.2^2} - \frac{2}{0.4^2} = -\frac{1}{0.04} - \frac{2}{0.16} = -25 - 12.5 = -37.5 < 0\][/tex]Следовательно, это максимум.Ответ: оценка максимального правдоподобия параметра [tex]\theta[/tex] равна [tex]\bf (-0.3)[/tex].
