ТЕРМІНОВО Знайдіть радіус кола, описаного навколо рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють 11 см і 21 см, а бічна сторона 13 см. з малюнком, поясненням використаних властивостей, ознак, тощо
Answer (2)
Ответ:Радиус окружности, описанной вокруг равнобедренной трапеции равен 10 5/6 см.Объяснение:Найдите радиус окружности, описанной вокруг равнобедренной трапеции, основания которой равны 11 см и 21 см, а боковая сторона - 13 см.Дано: ABCD - равнобедренная трапеция; BC || AD;Окр.(О; R) - описана около ABCD;BC = 11 см; AD = 21 см; АВ = CD = 13 см.Найти: RРешение:Проведем высоту СН и диагональ АС.Высота, опущенная из вершины тупого угла равнобокой трапеции на большее основание, делит его на части, меньшая из которых равна полуразности оснований.⇒ HD = (AD - ВС) : 2 = (21 - 11) : 2 = 5 (см)АН = AD - HD = 21 - 5 = 16 (см)По теореме Пифагора для ΔHCD:CH² = CD² - HD² = 169 - 25 = 144 ⇒ CH = 12 смПо теореме Пифагора для ΔАСН:АС² = СН² + АН² = 144 + 256 = 400 ⇒ АС = 20 см.Данная окружность описана около ΔACD.Радиус описанной окружности равен: [tex]\displaystyle \bf R=\frac{abc}{4S} \;,[/tex]где a, b, c - стороны треугольника; S - его площадь.Площадь найдем по формуле Герона: [tex]\displaystyle \bf S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex] ,где р - полупериметр.Р = 20 + 13 + 21 = 54 (см) ⇒ р = 27 см[tex]\displaystyle S(ACD)=\sqrt{27(27-20)(27-13)(27-21)}=\sqrt{3\cdot9\cdot7\cdot2\cdot7\cdot2\cdot3} =\\\\=3\cdot3\cdot7\cdot2=126\;_{(CM^2)}[/tex]Найдем радиус описанной окружности:[tex]\displaystyle R=\frac{20\cdot13\cdot21}{4\cdot126} =\frac{5\cdot13}{6} =\frac{65}{6}=10\frac{5}{6}\;_{(CM)}[/tex]
Оскільки коло, описане навколо трапеції, є одночасно описаним навколо трикутника, утвореного її діагоналлю та двома сторонами, ми можемо знайти радіус через такий трикутник.Позначимо трапецію як ABCD, де AD = 21 см і BC = 11 см — основи, а AB = CD = 13 см — бічні сторони. Проведемо висоти BK і CM з вершин B і C на більшу основу AD. Отримаємо прямокутник KBCM, тому KM = BC = 11 см. Оскільки трапеція рівнобічна, відрізки AK і MD рівні: [tex]\bf AK = MD = \dfrac{AD-KM}{2}=\dfrac{21-11}{2} = 5[/tex] см.Розглянемо прямокутний трикутник ABK. За теоремою Піфагора знайдемо висоту BK: [tex]\bf BK^2 = AB^2 - AK^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144[/tex] [tex]\bf BK=12[/tex] смТепер розглянемо прямокутний трикутник BKD.Катет BK = 12 см.Катет KD = KM + MD = 11 + 5 = 16 см.За теоремою Піфагора знайдемо гіпотенузу BD (діагональ): [tex]\bf BD =\sqrt{ BK^2 + KD^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400}=20[/tex] смЗнайдемо радіус описаного колаРадіус кола, описаного навколо трапеції ABCD, дорівнює радіусу кола, описаного навколо трикутника ABD.Сторони трикутника ABD: AB = 13 см, AD = 21 см, BD = 20 см. Скористаємося узагальненою теоремою синусів для трикутника ABD: [tex]\bf R = \dfrac{BD}{2 \cdot \sin\angle A}[/tex]Знайдемо синус кута A з прямокутного трикутника ABK: [tex]\bf \sin\angle A = \dfrac{BK}{AB} = \dfrac{12}{13}[/tex]Отже, маємо: [tex]\bf \displaystyle R = \frac{20}{2 \cdot \frac{12}{13}} = \frac{20}{\frac{24}{13}} = 20 \cdot \frac{13}{24} = \frac{5 \cdot 13}{6} = \frac{65}{6}=10\dfrac{5}{6}[/tex] смВідповідь: Радіус описаного кола становить [tex]\bf 10 \dfrac{5}{6}[/tex] см.
