2. Докажите, что тождественно равны выражения: решите пожалуйста 3 и 4
Answer (2)
[tex]3) \bf \dfrac{1}{x-2}+\dfrac{x-2}{x^2+2x+4}-\dfrac{6x}{x^3-8}=\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{x-2}{x^2+2x+4}-\dfrac{6x}{(x-2)(x^2+2x+4)}\\ \\ \\ =\dfrac{x^2+2x+4+(x-2)^2-6x}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\dfrac{x^2+2x+4+x^2-4x+4-6x}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\\ \\ \\ =\dfrac{2x^2-8x+8}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\dfrac{2(x-2)^2}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\dfrac{2x-4}{x^2+2x+4}[/tex][tex]\bf 4) \dfrac{2a^2+7a+3}{a^3-1}-\dfrac{1-2a}{a^2+a+1}-\dfrac{1}{a-1}=\dfrac{2a^2+7a+3}{(a-1)(a^2+a+1)}-\dfrac{1-2a}{a^2+a+1}-\\ \\ \\ -\dfrac{1}{a-1}=\dfrac{2a^2+7a+3-(1-2a)(a-1)-(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}=\\ \\ \\ =\dfrac{2a^2+7a+3+2a^2-3a+1-a^2-a-1}{(a-1)(a^2+a+1)}=\dfrac{3a^2+3a+3}{(a-1)(a^2+a+1)}=\\ \\ \\ =\dfrac{3(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}=\dfrac{3}{a-1}[/tex]
Ответ: Докажите, что тождественно равны выражения .Применяем формулы сокращённого умножения №2 и №5 .[tex]\bf \displaystyle 3)\ \ \frac{1}{x-2}+\frac{x-2}{x^2+2x+4}-\frac{6x}{x^3-8}=\\\\\\=\frac{1}{x-2}+\frac{x-2}{x^2+2x+4}-\frac{6x}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\\\\\\=\frac{x^2+2x+4+(x-2)^2-6x}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\frac{x^2+2x+4+x^2-4x+4-6x}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\\\\\\=\frac{2x^2-8x+8}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\frac{2\, (x^2-4x+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\\\\\\=\frac{2\, (x-2)^2}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\frac{2\, (x-2)}{x^2+2x+4}=\frac{2x-4}{x^2+2x+4}[/tex] Получили , что оба выражения равны [tex]\bf \dfrac{2x-4}{x^2+2x+4}[/tex] .Тождество доказано .[tex]\bf \displaystyle \frac{1}{x-2}+\frac{x-2}{x^2+2x+4}-\frac{6x}{x^3-8}\equiv \frac{2x-4}{x^2+2x+4}\ \ ,\ \ \ x\ne 2\ .[/tex] [tex]\bf \displaystyle 4)\ \ \frac{2a^2+7a+3}{a^3-1}-\frac{1-2a}{a^2+a+1}-\frac{1}{a-1}=\\\\\\=\frac{2a^2+7a+3}{(a-1)(a^2+a+1)}-\frac{1-2a}{a^2+a+1}-\frac{1}{a-1}=\\\\\\=\frac{2a^2+7a+3-(1-2a)(a-1)-(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}=\\\\\\=\frac{2a^2+7a+3-(a-1-2a^2+2a)-a^2-a-1}{(a-1)(a^2+a+1)}=\\\\\\=\frac{2a^2+7a+3-a+1+2a^2-2a-a^2-a-1}{(a-1)(a^2+a+1)}=\\\\\\=\frac{3a^2+3a+3}{(a-1)(a^2+a+1)}=\frac{3\, (a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}=\frac{3}{a-1}[/tex] Получили , что оба выражения равны [tex]\bf \dfrac{3}{a-1}[/tex] .Тождество доказано .[tex]\bf \displaystyle \frac{2a^2+7a+3}{a^3-1}-\frac{1-2a}{a^2+a+1}-\frac{1}{a-1}\equiv \frac{3}{a-1}\ \ ,\ \ \ a\ne 1\ .[/tex]
