Исследовать функцию на непрерывность

Решение .Функция y=f(x)  непрерывна в точке х₀ , если :а) функция  определена в точке х₀ и её окрестности ; б) существует конечный предел функции  в точке х₀ ;в) этот предел равен значению функции в точке x₀ , то есть   [tex]\bf \lim\limits_{x \to x_0}\, f(x)=f(x_0)[/tex]  .     [tex]\bf f(x)=\left\{\begin{array}{l}\bf x+2\ ,\ x\leq 0\ ,\\\bf 2-x^2\ ,\ x > 0\ .\end{array}\right[/tex]    Функция может быть разрывна в точке стыка функций f(x)=x+2 и f(x)=2-x² , то есть при х = 0 .Заданная функция определена в точке х₀= 0 формулой  f(x) = x+2 . Она непрерывна при х₀ = 0 и в окрестности этой точки .[tex]\bf \lim\limits_{x \to -0}\, f(x)=\lim\limits_{x \to -0}\, (x+2)=0+2=2\\\\\lim\limits_{x \to +0}\, f(x)=\lim\limits_{x \to +0}\, (2-x^2)=2-0^2=2\\\\f(x_0)=f(0)=(x+2)\Big|_{x=0}=2\ \ \ \ \Rightarrow[/tex]     [tex]\bf \lim\limits_{x \to 0}\, f(x)=\lim\limits_{x \to -0}\, f(x)=\lim\limits_{x \to +0}f(x_0)\ \ \ \Rightarrow[/tex]   функция непрерывна при  х=0 .

Answered by Alnadya | 2025-08-24

Функция f(x) называется непрерывной в точке x = a, если выполнены три условия:Функция определена в точке aСуществует предел функции при [tex]x \to a[/tex]Предел равен значению функцииСогласно определению:1. [tex]f(0) = 0 + 2 = 2[/tex] (функция определена).2. [tex]\lim_{x \to 0-} f(x) = \lim_{x \to 0-} (x + 2) = 2[/tex], [tex]\lim_{x \to 0+} f(x) = \lim_{x \to 0+} (2 - x^2) = 2[/tex]. Предел существует и равен 2.3. [tex]\lim_{x \to 0} f(x) = 2 = f(0)[/tex]Все условия выполнены [tex]\implies[/tex] функция непрерывна в точке x=0.

Answered by TheHumanAI | 2025-08-24