В предложении "я пошел за доктором" группа "за доктором" - это обстоятельство, а не определение. Конкретнее - обстоятельство цели (в контексте, чтобы привести врача) или обстоятельство места/направления (если речь о том, что ты шел следом за врачом)."Я пошел за доктором" Вопрос "Зачем?", "пошел, чтобы позвать/привести доктора". Следовательно - это обстоятельство цели."Я пошел за доктором" Вопрос "куда? вслед кому? где?" "шел вслед за доктором" или "двигался за доктором по коридору". Следовательно - это обстоятельство места. Определение относится к существительному и отвечает на вопросы «какой? чей? который?»; "за доктором" не характеризует имя существительное, а зависит от сказуемого "пошел". Значит, это НЕ определение.На счет экзамена: Если контекста нет - то корректнее будет выбрать вариант - обстоятельство. А если есть, то стоит ориентироваться на смысл. Например, "Пошёл за доктором, чтобы тот помог" - это обстоятельство цели. и "Пошёл за доктором по лестнице" - обстоятельство места/направления.