Найдите наименьшее значение
Answer (1)
Ответ: √106Объяснение:[tex]f(x) = \sqrt{130 - 126\sqrt{x} } + \sqrt{74 - 70\sqrt{1 -x} }[/tex]учтем ограничения[tex]\left \{ \begin{array}{l} x \geqslant 0 \\ 1 -x \geqslant 0 \\ 130 - 126\sqrt{x} \geqslant0 \\ 74 - 70\sqrt{1 -x} \geqslant 0 \end{array} \Leftrightarrow x \in [ 0; 1][/tex]Ввиду данного ограничения напрашивается замена x = sin²t , t ∈ [0 ; π /2]После подстановки получим более простую функцию[tex]g(t) = \sqrt{130 - 126\sin t } + \sqrt{74 - 70\cos t }[/tex]Подметим очертания теоремы косинусов[tex]130 - 126\sin t = 130 - 2\cdot 63 \sin t= 9^2 + 7^2 -2\cdot 9\cdot 7\cos (90^{\circ} -t) \\\\\ 74 - 70\cos t = 74 -2 \cdot 35\cos t= 7^2 +5^2 - 2\cdot 5\cdot 7\cos t[/tex]Ну а далее достаточно сделать рисунок, т.к 90° - t + t = 90°За счет выполнения теоремы косинусов положим чтоOC = 9, OA = 5, OB = 7, ∠COB = tОтсюда получается [tex]CB = \sqrt{130 - 126\sin t } \\\\AB = \sqrt{74 - 70\cos t[/tex]По неравенству треугольника AB + BC ≥ ACA так как ∠AOC = 90°, то AC по теореме Пифагора : AC² = 9² + 5² = 106. Откуда AC = √106Значит, AB + BC ≥ √106, причем минимальное значение будет достигаться когда точка B окажется на отрезке AC.Таким образом, мы доказали что [tex]MIN( \sqrt{130 - 126\sqrt{x} } + \sqrt{74 - 70\sqrt{1 -x} }) = \sqrt{106}[/tex]
