Найдите значение выражения tg²a+ctg²a, если tga+ctga=3
Answer (1)
Ответ:[tex]\mathrm{tg}^2a+\mathrm{ctg}^2a=7[/tex]Решение:По условию:[tex]\mathrm{tg}\,a+\mathrm{ctg}\,a=3[/tex]Возведем в квадрат обе части:[tex](\mathrm{tg}\,a+\mathrm{ctg}\,a)^2=3^2[/tex][tex]\mathrm{tg}^2a+\mathrm{ctg}^2a+2\,\mathrm{tg}\,a\,\mathrm{ctg}\,a=9[/tex]Так как [tex]\mathrm{tg}\,a\,\mathrm{ctg}\,a=1[/tex], то:[tex]\mathrm{tg}^2a+\mathrm{ctg}^2a+2\cdot1=9[/tex][tex]\mathrm{tg}^2a+\mathrm{ctg}^2a+2=9[/tex][tex]\mathrm{tg}^2a+\mathrm{ctg}^2a=\boxed{7}[/tex]Элементы теории:[tex]\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sin x}{\cos x}[/tex][tex]\mathrm{ctg}\,x=\dfrac{\cos x}{\sin x}[/tex][tex]\Rightarrow \mathrm{tg}\,x\ \mathrm{ctg}\,x=1[/tex]
